[2014년 가좌고]

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[1학년 2학기 중간]

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 다음 중
[eqn: (A-B) ^{c} SMALLINTER (A cupB)]와 항상 같은 것은?

②

① [eqn: A]	② [eqn: B]	③ [eqn: A capB]

④ [eqn: A cupB]	⑤ [eqn: emptyset]

집합 [eqn: A= left{`x`|`1 le x le 10,```x는```자연수 right}]에 대하여 집합 [eqn: A]의 부분집합의 개수를 [eqn: a] 집합 [eqn: A]의 부분집합 중에서 짝수를 모두 포함하는 부분집합의 개수를 [eqn: b], 집합 [eqn: A]의 부분집합 중에서 적어도 하나의 홀수를 포함하는 부분집합의 개수를 [eqn: c]라고 할 때, [eqn: { a} over { b}+c]의 값은?

⑤

① [eqn: 2^2]	② [eqn: 2^4]	③ [eqn: 2^6]

④ [eqn: 2^8]	⑤ [eqn: 2^10]

유한집합 [eqn: X]에 대하여 [eqn: X]의 원소의 개수를 [eqn: n(X)], [eqn: X]의 부분집합의 개수를 [eqn: s(X)]라고 할 때, 다음 보기에서 옳은 것의 개수는?

②

ㄱ. [eqn: A subsetB]이면 [eqn: A^c subsetB^c]

ㄴ. [eqn: A subsetB]이면 [eqn: n(A) <n(B)]

ㄷ. [eqn: n(A)<n(B)]이면 [eqn: A subsetB]

ㄹ. [eqn: n(A)<n(B)]이면 [eqn: s(A) < s(B)]

ㅁ. [eqn: A subsetemptyset]이면 [eqn: n(A)=0]

① [eqn: 1]개	② [eqn: 2]개	③ [eqn: 3]개

④ [eqn: 4]개	⑤ [eqn: 5]개

전체집합 [eqn: U= left{ { 1} over { 2},``` { 1} over {2^2 },``` { 1} over {2^3 },```cdots,``` { 1} over {2^20 } right]의 공집합이 아닌 모든 부분집합을 [eqn: A_1], [eqn: A_2], [eqn: cdots], [eqn: A_n]([eqn: n]은 자연수)이라 하고, 집합 [eqn: A_i]의 원소 중에서 최소인 것을 [eqn: a_i][eqn: (i=1,```2,```3,```cdots,```n)]라고 하자.
[eqn: f_i :A_i ->R]을
[eqn: f_i (x)=x(x in A_i ,```i=1,```2,```cdots,```n)]
라고 정의할 때, [eqn: f_1 (a_1 )+f_2 (a_2 )+f_3 (a_3 )+cdots+f_n (a_n )]의 값은? (단, [eqn: R]은 실수 전체집합이다.)

②

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 1024]	⑤ [eqn: 2048]

전체집합 [eqn: U]에서 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]이라고 하자. 세 명제 [eqn: p ->q], [eqn: r ->simq], [eqn: simp->r]가 모두 참일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: U !=emptyset], [eqn: Q!= emptyset], [eqn: R != emptyset])

③

ㄱ. [eqn: P capR = emptyset]

ㄴ. [eqn: P cupR!= U]

ㄷ. [eqn: Q=R^c]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

전체집합 [eqn: U= left{x`|`x는```10```이하의```자연수 right]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라고 하자. 조건 [eqn: p]가 다음 명제와 같을 때, 명제 [eqn: p->q]의 대우가 참이 되게 하는 집합 [eqn: Q]의 개수는?

③

[eqn: p:x는```소수이다.]

① [eqn: 2^4]	② [eqn: 2^5]	③ [eqn: 2^6]

④ [eqn: 2^7]	⑤ [eqn: 2^8]

실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가 각각
[eqn: p:|x|+|y|<2], [eqn: q:x^2 +y^2 <a]
일 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: x>5]일 때, [eqn: x+3+ { 9} over {x-5 }]의 최솟값을 [eqn: a], 최솟값을 가질 때의 [eqn: x]값을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

④

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=|x-2|+kx+3]의 역함수가 존재할 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위는?

⑤

① [eqn: -2<k<0]	② [eqn: -1<k<1]

③ [eqn: -1<k<2]	④ [eqn: k<0] 또는 [eqn: k>2]

⑤ [eqn: k< -1] 또는 [eqn: k>1]

두 함수 [eqn: f(x)=x+1], [eqn: g(x)=2x+6]에 대하여
[eqn: (g circ(f circg)^-1 circg)(2)]의 값은?

①

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

실수 전체의 집합 [eqn: R]에서 [eqn: R]로의 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같이 원점과 두 점 [eqn: (1,```1)], [eqn: (-1,```-2)]를 각각 지나는 두 직선으로 이루어져 있다. 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. 임의의 [eqn: x_1], [eqn: x_2 inR]에 대하여 [eqn: f(x_1 )=f(x_2 )]이면

[eqn: x_1 =x_2]이다.

ㄴ. [eqn: f^-1 (-6)=-3]이다.

ㄷ. [eqn: y=f(x)]의 그래프와 역함수 [eqn: y=f^-1 (x)]의

그래프의 교점은 두 개다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

집합 [eqn: A= left{1,```2,```3,```4 right}]에 대하여 함수 [eqn: f:A->A]를
[eqn: f(x)= cases{ x+1&```(x le 3) # 1&```(x=4) }]
로 정의하자. [eqn: f^1 (x)=f(x)], [eqn: f^n+1 (x)=f(f^n (x))(n=1,```2,```3,```cdots)]이라고 정의할 때, [eqn: f^199 (3)+f^200 (4)]의 값은?

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

함수 [eqn: f(x)=2x+1]에 대하여 [eqn: (f circf)(1)+f^-1 (-5)]의 값은?

②

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다음 보기는 함수 [eqn: y= { 2x+1} over {2-x }]의 그래프에 대한 설명이다. 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. [eqn: y=- { 5} over { x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼,

[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 그래프이다.

ㄴ. 점 [eqn: (2,```-2)]에 대하여 대칭이다.

ㄷ. 제[eqn: 2], [eqn: 4]사분면만을 지나는 그래프이다.

ㄹ. 점근선의 방정식은 [eqn: x=-2], [eqn: y=-2]이다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

유리함수 [eqn: y= { b} over {x+a }-c]의 그래프가 그림과 같을 때, 무리함수 [eqn: y= sqrt { ax-b}+c]의 그래프가 지나는 사분면을 구하면?

①

① 제[eqn: 1], [eqn: 4]사분면	② 제[eqn: 2], [eqn: 3]사분면

③ 제[eqn: 3], [eqn: 4]사분면	④ 제[eqn: 2], [eqn: 4]사분면

⑤ 제[eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4]사분면

함수 [eqn: y= { k} over {x }(k!=0)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 그래프가 점 [eqn: (-1,```1)]을 지날 때, 상수 [eqn: k]값은?

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

무리함수 [eqn: y=a sqrt { x-b}+c]의 그래프가 그림과 같이 원점 [eqn: rmO]를 지날 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: { ab} over { c}]의 값은?

⑤

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

서술형

두 집합 [eqn: A= left{2,```a+4 right], [eqn: B= left{5,```a+2,```3a-1 right}]에 대하여 [eqn: A subsetB]가 성립할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오.

[eqn: 1]

명제 ‘세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 모두 정수일 때, [eqn: a^2 +b^2 =c^2]이면 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중 적어도 하나는 [eqn: 3]의 배수이다.’를 대우를 이용하여 증명하시오.

“[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 모두 [eqn: 3]의 배수가 아니면 [eqn: a ^{2} +b ^{2} !=c ^{2}]이다.”

[eqn: (3k+1)^2 =9k^2 +6k+1], [eqn: (3k+2) ^{2} =9k ^{2} +12k+4]이므로

제곱 수들은 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이다. [eqn: a ^{2} +b ^{2}]은 [eqn: 3]으로

나눈 나머지가 [eqn: 2]이므로 [eqn: c ^{2}]과 같을 수 없다.

집합 [eqn: X=left{1,```2,```3right}]에 대하여 함수 [eqn: f:X->X]는 일대일 대응이다. 함수 [eqn: f]가 [eqn: (f circf)(1)=3]을 만족 시킬 때, [eqn: 5f(2)+2f(3)]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: 17]

함수 [eqn: y=- sqrt { -x+3}+1]에 대하여 다음을 구하시오.

(1) 정의역 : [eqn: left{x`|`x le3 right}], 치역 : [eqn: left{y`|`y le 1 right}]

(2) [eqn: y=-(x-1)^2 +3 (x le 1)]

(3) [eqn: (-1,```-1)]

(1) 정의역과 치역을 구하시오.

(2) 주어진 함수의 역함수를 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

(3) (2)에서 구한 역함수와 주어진 함수와의 교점의 좌표를

구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

[2014년 가좌고]

[1학년 2학기 중간]

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